由图的斜率求速率

本页逐步讲解 SPM化学中的由图的斜率求速率：所需公式、需要注意的单位，以及三道示范例题。

何时使用

速率实验通常画成气体体积（或质量）对时间的图。那图的斜率就是速率，而正确地读出它，尤其对曲线，是一项标准的 SPM化学 技能。

公式与单位

速率 = 斜率 = y 的变化 / x 的变化

• 对直线，任取两点，把纵向的变化除以横向的变化。
• 对曲线，速率在变，所以要在你想要的时刻画切线，取那条切线的斜率。这给出瞬时速率。
• 曲在线两点之间的弦的斜率，给出这两点之间的平均速率。

单位。 单位来自坐标轴：以 cm³ 与 s 为轴的体积-时间图给出 cm³ s⁻¹；质量-时间图给出 g s⁻¹。

斜率越陡，反应总是越快。

例题一（简单）

一条直线过原点与点 (20 s, 60 cm³)。求速率。

• 斜率 = y 的变化 / x 的变化 = 60 / 20 = 3 cm³ s⁻¹。

例题二（中等）

在气体体积对时间的曲在线，在最开始（t = 0）画的切线过 (0, 0) 与 (10 s, 45 cm³)。求初速率。

• 初速率 = 45 / 10 = 4.5 cm³ s⁻¹。

例题三（SPM 水平）

两个实验画在同一坐标上。对较快的那个，t = 0 时的切线在 8 s 达到 40 cm³；到 t = 40 s 时它的曲线已水平。

求初速率并描述 40 s 时的速率。

• 初速率 = 切线斜率 = 40 / 8 = 5 cm³ s⁻¹。
• 40 s 时曲线水平，故斜率为 0；速率为零，反应已结束。

由于较快的实验起始切线更陡，你也可以不再计算就断定它的初速率更高，只看斜率便知。

正确地读切线

最常见的错误是直接从曲在线取两点相除；那既不是正确的平均，也不是瞬时速率。正确做法是：把直尺放到让它只在你选的时刻碰到曲线、并与该处的斜度相合，把切线延伸过图的一大段，再从那条线读出 y 的变化与 x 的变化。

切线画得长，能减小读数误差、守住分数。

常见陷阱

• 用曲在线的点求瞬时速率。 只有切线才给出某一时刻的速率。
• 忽略坐标轴单位。 读实际刻度；别假设每一格就是一个单位。
• 忘了水平线表示速率为零。 水平的图表示反应已停止，而不是匀速。
• 切线画得太短。 短切线会放大读数误差。

我们的老师会让学生用直尺在较大的间隔上画切线，并在图上标出 y 的变化与 x 的变化，好让数值与它的单位都稳妥。